Secara formal, gelanggang ialah suatu set R {\displaystyle R} , dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, + : R × R → R {\displaystyle +:R\times R\rightarrow R} dan darab, ⋅ : R × R → R {\displaystyle \cdot :R\times R\rightarrow R} (di mana × {\displaystyle \times } adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

• ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
  1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} dalam R {\displaystyle R} , a + b {\displaystyle a+b} juga dalam R {\displaystyle R} .
  2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} dalam R {\displaystyle R} , ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} .
  3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam R {\displaystyle R} , di mana bagi setiap unsur a {\displaystyle a} dalam R {\displaystyle R} , 0 + a = a + 0 = a {\displaystyle 0+a=a+0=a} .
  4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap a {\displaystyle a} dalam R {\displaystyle R} , wujud unsur b {\displaystyle b} dalam R {\displaystyle R} di mana a + b = b + a = 0 {\displaystyle a+b=b+a=0} .
  5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} dalam R {\displaystyle R} , a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .

• ( R , ⋅ ) {\displaystyle (R,\cdot )} adalah monoid terhadap pendaraban:
  1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} in R {\displaystyle R} , a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} juga dalam R {\displaystyle R} .
  2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} dalam R {\displaystyle R} , ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} .
  3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam R {\displaystyle R} , di mana bagi setiap unsur a {\displaystyle a} dalam R {\displaystyle R} , 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a {\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a} .

• Hukum-hukum kalis agihan:
  1. Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} dalam R {\displaystyle R} , a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) {\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)} .
  2. Bagi setiap a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} dalam R {\displaystyle R} , ( a + b ) ⋅ c = ( a ⋅ c ) + ( b ⋅ c ) {\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)} .